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書籍詳細
 
工学系のための常微分方程式
秋山成興著
A5・204頁 / 3190円
発行年月日 : 1998年4月
ISBN : 4-7655-1581-8
 

内容紹介
【美本ございません】 数学を道具として使用するという立場に立って著された入門書.厳密な数学的議論には深入りせずに,物理現象をどのように数式で表現(定式化)するか,得られた解の物理的意味をいかに解釈するかについて,詳しく解説している.内容的には,初等関数(有理関数,無理関数),初等超越関数(指数関数,三角関数,双曲線関数,対数関数等)を用いて解ける問題にしぼっている.
 
目次
第1章 微分方程式の基礎概念
1.1 微分方程式理論の基礎
微分方程式の解/微分方程式の分類/微分方程式の階数/微分方程式の一般解・特別解・特異解
1.2 解析手法と微分方程式
1.3 微分方程式作成の手順
1.4 各種自然法則を表わす数式
地球の重力場/重力場におけるポテンシャルエネルギー/質量が変化する物体の運動/等温変化している理想気体の仕事量/高度と大気圧の関係(ボルツマン公式)/コンデンサーの放電容量/自己誘導起電力/物体の温度変化(ニュートンの冷却法則)/吸収性物質を透過する際のビームの減衰
第2章 初等常微分方程式
2.1 1階の常微分方程式
常微分方程式の一般解
2.2 変数分離型
質量保存則/生長曲線(エネルギー保存則)/落下運動(1)/落下運動(2)/人口増加率/質量の変化する物体の運動:ロケットの水平運動
2.3 完全微分型
力学仕事とポテンシャル/熱力学への応用

第3章 線形1階微分方程式
3.1 線形1階微分方程式
線形1階微分方程式の一般解/線形1階微分方程式の同次解/線形1階微分方程式の特解(定数変化の方法)
3.2 与式のタイプ別による解法例
タイプ1/タイプ2/タイプ3
3.3 各種現象における線形1次微分方程式
落下運動/電気回路/心臓-血管系の数式化
3.4 特異解の幾何学的意味
3.5 特殊な形をもつ1階常微分方程式
ベルヌーイの方程式/リッカチの微分方程式/ラグランジュの微分方程式/クレローの微分方程式
3.6 特異解と包絡線

第4章 2階常微分方程式(標準形)
4.1 y”=const.の場合
4.2 y”=f(x)の場合
4.3 y”=f(y)の場合(エネルギー法)
4.4 y”=f(y’)の場合
4.5 y”=f(x,y’)の場合
4.6 y”=f(y,y’)の場合
4.7 カテナリー曲線の性質
最小表面積/最小ポテンシャル

第5章 線形高階微分方程式
5.1 高階常微分方程式の解とその性質
5.2 定数係数をもつ同次型微分方程式の特性方程式と同次解
異なる実根をもつ特性方程式/共役複素根をもつ特性方程式/重根をもつ特性方程式
5.3 定数係数をもつ非同次型線形微分方程式の特解
Q(x)=c0+c1x+……+cnxn(n次の多項式)の場合/Q(x)=Aeax(A:定数)の場合/Q(x)=AsinaxまたはQ(x)=Acosaxの場合/Q(x)が同次解の関数形と一致する場合
5.4 定数変化の方法(ラグランジュ法)
5.5 基本解による解法(グリーン関数法)
5.6 グリーン関数の物理的意味
衝撃荷重におけるグリーン関数/糸のたわみにおけるグリーン関数
5.7 工学への応用(・):振動
力学系の振動問題/磁場における振動問題/減衰振動/強制振動/調和振動型外力による強制振動/ヘビサイドの階段状型外力による強制振動/衝撃型外力による強制振動/共振現象
5.8 工学への応用(・):曲げ
はりの曲げモーメント/はりの曲げ変形/はりの支持条件/Beam-Columnの問題

第6章 変数係数をもつ常微分方程式:オイラー型微分方程式
6.1 はじめに
6.2 オイラー型の微分方程式
6.3 パイプ内を流れる粘性流体の運動
内部まさつ・粘性まさつ/ハーゲン-ポアズイユの法則
6.4 等分布内・外圧を受ける肉厚円筒の応力・変形(ラメの問題)
扇形要素の力のつりあい条件/弾性法則(フックの法則)
6.5 円板の軸対称曲げ変形

Appendix
A.1 指数関数と対数関数
指数関数/対数関数
A.2 積分(integral)
積分の概念/集合関数/加法的集合関数
A.3 積分の定義
加法関数の計算/積分和/積分公式
A.4 自然対数の概念
自然対数の基本的性質/対数関数の場合の積分和/区域と対数関数
A.5 三角関数の積分
A.6 積分変換の一般公式
A.7 2次元軸対称問題に対するラプラス演算子
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